Fractales avec GéoTortue

Écrit par M. Pavageau.

Mis à jour le mercredi 27 janvier 2016

L'an dernier dans le cadre d'un travail sur le parallélogramme, des élèves de cinquièmes ont appris à programmer une procédure dans GéoTortue et cette année ce sont des sixièmes qui l'utilise pour travailler sur les angles. Comme vous pourrez le constater dans la suite de l'article, c'est un moyen efficace pour dessiner des objets géométriques pourtant très complexes que l'on appelle des fractales comme le triangle de Sierpinski, le flocon de Koch et une de ses variantes appelée courbe de Cesàro.

Ci-dessous, ces trois courbes fractales réunies :

TRIANGLE DE SIERPINSKI

Le principe de construction est de partir d'un triangle équilatéral puis en utilisant les milieux de ses trois côtés de le partager en quatre petits triangles équilatéraux. Par la suite, on reproduit l'opération mais en partageant cette fois-ci uniquement les trois petits triangles ayant un sommet commun avec le triangle de départ (on ne "touche" pas au triangle central). En poursuivant ainsi à l'infini (en théorie car avec GéoTortue une dizaine d'itérations suffiront) on obtient l'un des fractals de Sierpinski.

La manière la plus courte (en nombre de caratères saisis et pas en temps de calcul qui peut devenir très long) est de faire appel à une procédure récursive. Pour comprendre ce principe, il faut observer les lignes de commande utilisées ci-dessus où l'on trouve des instructions "rep" qui s'emboitent les unes dans les autres. Aussi surprenant que cela puisse paraître, il est possible de programmer une procédure qui fait appel à elle même (voir ci-dessous dans la fenêtre "Procédures" et le résultat obtenu après 8 itérations).

FLOCON DE KOCH

C'est un autre grand classique dont la construction est aussi très simple à expliquer car il suffit de partir d'un segment que l'on partage en trois pour construire sur le segment central un triangle équilatéral. Après avoir effacé ce segment central, on se retrouve avec 4 segments (voir étape 2) auxquels on va appliquer le même traitement puis ainsi de suite...

Pour comprendre la procédure Koch, utilisée ci-dessus et décrite ci-dessous, vous pouvez la comparer à la procédure Koch_etape_2 qui permet d'obtenir la figure de l'étape 2. Pour construire le flocon de Koch, ci-dessous à gauche, il suffit d'appliquer trois fois la procédure Koch en intercalant des "td 120" (comme pour construire un triangle équilatéral où on fait : rep 3 [ av 400 ; td 120 ]).

Le flocon de Koch est une bonne illustration de l'indépendance entre l'aire d'une figure et son périmètre : bien que l'aire du flocon augmente entre deux étapes elle n'augmentera pas indéfiniment (dans l'exemple ci-dessus il ne sortira pas de la fenêtre) alors que son périmètre lui augmentera à l'infini (il augmente du tiers à chaque étape). De même si on part d'un carré et que l'on construit à l'intérieur la fractale ci-dessous sur ses côtés alors on obtient une figure dont l'aire ne cesse de baisser et dont le périmètre augmente là aussi à l'infini.

COURBE DE CESARO

C'est une variante de la précédente courbe où le triangle équilatéral est remplacé par un triangle isocèle. En fonction du choix fait pour l'angle à la base (ci-dessous 85° contre 60° pour Koch) on obtient une courbe très différente.

La procédure est pratiquement identique à Koch avec cependant deux difficultés : déterminer le 2ème angle que doit faire la tortue ainsi que la longueur des nouveaux segments.

Avec des connaissances de fin cinquième vous devriez pouvoir déterminer le 2ème angle que j'ai caché et avec des connaissances de fin de quatrième vous devriez également pouvoir déterminer le nombre par lequel il faut diviser la longueur...

Commentaires (2)

YvesRun

Juste fabuleux le Cesaro. Content de voir que des élèves de 5° peuvent faire des fractales avec GéoTortue
Les réalisations sont superbe. encore merci du tuyau.

il y a environ 9 ans

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M. Pavageau

En réponse à: YvesRun

Le but de cet article est surtout de faire découvrir les possibilités offertes par les procédures dans Géotortue et d'en profiter pour faire découvrir le monde des fractales. Les élèves de 5ème ont pour l'instant seulement appris à programmer une procédure qui permet de construire des parallélogrammes (voir cette fiche et celle-ci de l'IREM de Paris-Nord). Ils n'en sont pas encore aux fractales mais peut-être qu'un jour...

il y a environ 9 ans

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